Вероятностных характеристики нечеткого сигнала. Характеристики случайных сигналов. Анализ распределения вероятностей
Случайный сигнал описывается случайной функцией времени Х(t). Эту функцию можно рассматривать как бесконечную совокупность функций x i (t), каждая из которых представляет собой одну из возможных реализаций X(t). Графически это можно представить следующим образом (рисунок 1):
Рисунок 1
Полное описание случайных сигналов может быть произведено с помощью системы вероятностных характеристик. Любая из этих характеристик может быть определена либо усреднением по совокупности реализации x i (t), либо усреднением по времени одной бесконечно длинной реализации.
Зависимость или независимость результатов таких усреднений определяет следующие фундаментальные свойства случайных сигналов - стационарность и эргодичность.
Стационарным называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от времени.
Эргодическим называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.
Для стационарных эргодических сигналов усреднение любой вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.
Для практических целей наиболее важными являются следующие вероятностные характеристики стационарных эргодических сигналов, имеющих длительность реализации Т:
Среднее значение (математическое ожидание). Оно характеризует постоянную составляющую сигнала
Средняя мощность. Она характеризует средний уровень сигнала
Дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей сигнала:
Среднеквадратическое отклонение (СКО)
Функция распределения, которая определяется как интегральная вероятность того, что значение xi(tj) в j-й момент времени будут ниже некоторых значений X:
Для заданных стационарных эргодичных сигналов F x характеризуется относительным временем пребывания реализации ниже уровня Х (ф i -, i -й интервал пребывания, n - количество интервалов, рисунок 2)
Рисунок 2
Одномерная плотность вероятности, называемая дифференциальным законом распределения:
где - расстояние между соседними уровнями X(t), называемое дифференциальным коридором;
I -й интервал пребывания реализации в пределах (см. рисунок 2).
Корреляционная функция. Она характеризует стохастическую (случайную) связь между двумя мгновенными значениями случайного сигнала, разделенного заданным интервалом времени ф
Взаимная корреляционная функция. Она характеризует стохастическую связь мгновенными значениями случайных сигналов x(t) и y(t), разделенными интервалом времени ф
Из выражений (1)-(8) видно, что все вероятностные характеристики представляют собой неслучайные числа или функции и определяется по одной реализации бесконечной длительности. Практически же длительность Т, называемая продолжительностью анализа, всегда ограничена, поэтому на практике мы можем определить не сами характеристики, а только их оценки. Эти оценки, полученные экспериментальным путем, называются статическими характеристиками. А раз оценка, значит приближение, которое характеризуется погрешностями, называемыми статистическими погрешностями.
вероятностный эргодический случайный дискретный
Использование методов нечеткой логики для определения классификационных характеристик случайных процессов
1 2 А.М. Прохоренков, Н.М. Качала
1 Политехнический факультет, кафедра автоматики и вычислительной техники
Экономический факультет, кафедра информационных систем
Аннотация. В работе рассматриваются вопросы необходимости классификации случайных процессов, имеющих место в системах управления технологическими процессами, проводится анализ информативных признаков и существующих подходов к классификации процессов. Предложен подход, при котором классификационными признаками являются класс процесса (стационарный, нестационарный), вид процесса (аддитивный, мультипликативный, аддитивно-мультипликативный) и тип детерминированной составляющей. Предложен алгоритм классификации случайных процессов по одной реализации, основанный на использовании непараметрических критериев, показателя Херста, байесовской процедуре классификации и нечеткой логике.
Abstract. In the paper necessity of random processes" classification in industrial control systems have been considered. Informative signs and existent methods for the classification have been analyzed. The new approach has been suggested. According to it the process type (stationary or non-stationary), process kind (additive, multiplicative or additive-multiplicative) and deterministic constituent"s kind are classification signs. A realization-based algorithm for the random processes" classification has been proposed. It implies application of non-parametric criteria, Hurst items, Bayesian classifying procedure and fuzzy logic.
1. Введение
В настоящее время одним из основных направлений совершенствования систем автоматического управления (САУ) является повышение точности управления и стабилизации технологических параметров в достаточно узких пределах.
Немаловажная роль в решении задачи повышения точности управления отводится измерительной подсистеме, входящей в состав САУ. Случайный характер возмущающих воздействий и управляемых величин предполагает применение процедуры статистической обработки результатов измерений, что обуславливает наличие таких составляющих погрешности, как статистическая погрешность и погрешность, вызванная неадекватностью алгоритма обработки реальному случайному процессу. Причиной последнего вида погрешности является ошибка классификации наблюдаемого процесса. Например, классифицируя нестационарный процесс как стационарный, можно увеличить методическую погрешность при оценке математического ожидания за счет увеличения интервала сглаживания. В свою очередь, усложнение алгоритма измерений с целью уменьшения методической погрешности приводит, как правило, к росту инструментальной погрешности. Установление априори класса процесса во многом предопределяет алгоритм обработки результатов измерений и аппаратные средства.
В САУ необходимость классификации случайных процессов обусловлена также требованиями обоснованного перехода от анализа ансамбля реализаций к анализу одной реализации. Кроме того, знание класса процесса нужно для описания его динамики, прогнозирования его будущих значений и выбора алгоритмов управления.
2. Анализ информативных признаков и подходов к классификации случайных процессов
Распространенный подход при классификации объектов любой природы, в том числе и случайных процессов, состоит в выделении информативных признаков. Проведенный анализ показал, что информативные признаки, используемые при классификации процессов, отличаются разнообразием и определяются поставленной авторами целью классификации.
Все наблюдаемые процессы X(t), которые характеризуют физические явления, в самом общем виде можно классифицировать как детерминированные и случайные.
Детерминированный процесс определяется одной единственной реализацией, описываемой заданной функцией времени. Вследствие неизбежного влияния разнообразных внешних и внутренних факторов по отношению к системе управления детерминированный процесс является абстракцией. В связи с этим в практике исследования процессов рассматривают квазидетерминированный процесс,
реализации которого описываются функциями времени заданного вида аь...,ап), где аь...,ая -независящие от времени случайные параметры.
В отличие от детерминированного процесса, случайный процесс представляется в виде случайной функции Х(/,т), где t - время, те О, О - пространство элементарных событий. Функция Х(/,т) в любой момент времени может принимать различные значения с известным или неизвестным законом распределения.
Отнесение процесса к классу случайных может быть обусловлено либо его физической природой, либо условиями его изучения, приводящими к недостаточности априорных данных. Если в основу классификации положить причины возникновения случайности, то можно выделить несингулярные и сингулярные процессы. К первой группе относятся процессы, для которых невозможно проследить характер причинно-следственных связей, так как они являются результатом суперпозиции большого числа элементарных процессов. Для несингулярных процессов принципиально невозможно осуществлять прогнозирование мгновенных значений. Для процессов второй группы при наличии определенного объема данных прогнозирование их мгновенных значений становится достоверным. Сингулярные процессы могут быть как случайными, так и детерминированными. В системах управления технологическими объектами все процессы следует рассматривать как случайные, и для обработки результатов наблюдений в реальном масштабе времени причина случайности процесса не играет роли.
В теории случайных процессов наиболее общей классификацией, является классификация "по времени" и "по состоянию" (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко и др., 1983; Левин, 1989). По этим признакам можно выделить четыре класса: 1) процессы с дискретными состояниями и дискретным временем; 2) процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем; 3) процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем; 4) процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.
Процессы, протекающие в системах автоматического управления, представляют собой случайные процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем. Использование цифровой измерительной техники приводит к необходимости рассмотрения процессов в дискретные моменты времени и отнесению их к первому или третьему классу.
Исчерпывающей характеристикой случайного процесса является многомерный закон распределения:
^п(хЬ X2, /2; ... ; х^ 4) = Р{Х(^)< XI,Х^)< хъ...,Х(4)< хп}.
На практике, как правило, рассматривают одномерный или двумерный законы распределения случайного процесса, поскольку они содержат достаточный объем информации о свойствах случайного процесса, а прирост количества информации при использовании вероятностных характеристик высшего порядка оказывается незначительным. Кроме того, определение многомерных вероятностных характеристик связано с большими трудностями аппаратной реализации алгоритмов их вычисления.
С учетом изменения вероятностных характеристик во времени случайные процессы подразделяются на стационарные (ССП) и нестационарные процессы (НСП). Вероятностные характеристики ССП одинаковы во всех сечениях. Условием стационарности в узком смысле является инвариантность п-мерной плотности вероятности относительно временного сдвига т. Условия стационарности в широком смысле ограничиваются требованиями независимости от времени математического ожидания М[Х(0] и дисперсии Б[Х(()] и зависимости корреляционной функции лишь от временного сдвига т, то есть:
М[Х(0\=сош1, £[Х(0\=сош1, Ях(Ь, t2)=Rx(т), т=^2 - 1.
На практике в большинстве случаев корреляционная функция является достаточно полной характеристикой ССП, поэтому обычно ограничиваются выявлением стационарности процесса в широком смысле.
Структуру случайного процесса можно установить по корреляционной функции или по известной плотности распределения.
В зависимости от типа законов распределения можно выделить нормальные, равномерные, релеевские, пуассоновские и другие случайные процессы. Отклонения от классической формы распределения говорит о нестационарности процесса. По одной реализации ограниченной длины трудно с достаточной точностью судить о законе распределения случайного процесса, и в большинстве прикладных случаев анализа исследователь не располагает информацией о виде функции распределения. Тогда тип процесса либо постулируется, либо функция распределения не учитывается при анализе.
Более полную информацию о динамических свойствах процесса можно получить по корреляционной функции. Типичной корреляционной функцией ССП является симметричная убывающая функция. Наличие колебательности корреляционной функции свидетельствует о периодичности случайного процесса. Если корреляционная функция апериодически затухающая, то
случайный процесс считается широкополосным. Многополосный случайный процесс характеризуется треугольной корреляционной функцией. Стационарные - в широком смысле - процессы имеют корреляционные функции, которые при неограниченном увеличении т стремятся к постоянной величине или являются периодическими функциями от т. Корреляционная функция постоянного сигнала Х(()=Л является также постоянной функцией Я(т)=А2.
Стационарные процессы, корреляционные функции которых включают экспоненту с отрицательным аргументом, являются эргодическими. Стремление корреляционной функции к некоторой постоянной величине, отличной от нуля, обычно является признаком неэргодичности процесса.
Определение статистических характеристик случайных процессов принципиально возможно двумя путями: определение по одной реализации и по ансамблю реализаций. Если вероятностные характеристики процесса, полученные усреднением по времени, равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по ансамблю, то случайный процесс является эргодическим. Процессы, не обладающие свойством эргодичности, можно обрабатывать только по ансамблю реализаций.
Знание априори об эргодичности процесса значительно упрощает алгоритмическое обеспечение информационно-измерительных и информационно-управляющих комплексов. В условиях реальных технологических процессов и систем управления проверить глобальную эргодичность процессов невозможно, и она принимается как гипотеза.
Для нестационарных процессов характерно изменение во времени их статистических характеристик, поэтому при выполнении классификации это можно учесть. С точки зрения такого подхода, обычно выделяют процессы, которые имеют переменное во времени среднее значение; переменное во времени среднее значение квадрата, переменные во времени среднее и среднее значение квадрата, переменную по времени частотную структуру (Бендат, Пирсол, 1989). Подобная классификация отражает изменение во времени оценок вероятностных характеристик.
Проведенный выше анализ показал, что не может существовать единой классификации процессов в силу независимости классификационных признаков и разнообразия целей классификаций. Можно выделить несколько подходов к классификации процессов. Значительная часть авторов стремится систематизировать информацию о случайных процессах, чтобы показать все их многообразие (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко и др., 1983; Левин, 1989; Шахтарин, 2002). Наиболее общий подход к классификации как стационарных, так и нестационарных процессов связан с их непрерывным или дискретным представлением (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко и др., 1983; Левин, 1989).
В прикладных случаях учитывается специфика задач, решению которых должна предшествовать классификация наблюдаемых процессов. Так, например, в (Цветков, 1973; 1984; 1986) проведена классификация процессов в метрологии по признакам стационарности и эргодичности с целью выявления причин и анализа их влияния на методическую погрешность измерений статистических характеристик случайных процессов. В радиотехнике широко используется классификация по спектральным свойствам сигналов (Левин, 1989). Для обоснования перехода от анализа ансамбля реализаций к анализу индивидуальных реализаций в (Бендат, Пирсол, 1989) предлагается выполнить классификацию по типам нестационарности и при этом рассматривается поведение во времени оценок статистических характеристик.
Таким образом, существующие в настоящее время подходы к классификации случайных процессов не позволяют разработать алгоритм их анализа с целью выявления характера нестационарности процесса, вида детерминированных составляющих и их характеристик, необходимых для решения задач оперативного контроля и управления технологическими процессами, по одной реализации. В этой связи актуальными являются решения, направленные на обобщение и совершенствование существующих подходов к классификации случайных процессов.
3. Классификация случайных процессов по одной реализации
Случайные процессы, протекающие в системах управления, можно представить как результат совместного действия детерминированного полезного сигнала и стационарной помехи. В общем случае влияние помехи на полезный сигнал может быть выражено оператором Х(()=У(ф((), £(/)), где ф(/) -полезный сигнал (сигналы), е(() - стационарная помеха. В зависимости от вида оператора V различают следующие модели сигналов (Харкевич, 1965):
аддитивная модель Х(0 = + е(0; (1)
мультипликативная модель Х(/) = ф2(/) е(/); (2)
аддитивно-мультипликативная модель Х(/) = щ(() + ф2(/) е(Г), (3)
где ф1(0, ф20) - детерминированные функции времени, е(1) - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием ше = 0 и постоянной дисперсией Д.
Примером аддитивного процесса может служить выходной сигнал измерительного прибора, когда полезный сигнал суммируется с внутренним шумом прибора. Изменение жесткости мембраны датчика манометра, изменение коэффициента усиления усилителя, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре и другие являются причинами мультипликативной погрешности измерительных систем, которая описывается мультипликативной моделью. Во многих случаях нестационарный процесс погрешностей можно описать в виде аддитивно-мультипликативной модели.
В инженерной практике обычно рассматриваются стационарные в широком смысле процессы, при этом оценивается во времени поведение математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Поэтому и при классификации нестационарных процессов следует исходить из анализа этих же характеристик.
С учетом принятых допущений математическое ожидание тХ, дисперсия БХ и корреляционная функция RX случайных процессов, представленных моделями (1-3), имеют следующий вид:
аддитивная
мультипликативная
аддитивно-мультипликативная
тХ(0 = ф:(0; Ду(0 = Д;
Rx(tl, /2) = Rs(th /2);
тХ(() = 0; Ду(0 = ^(ОД; Rx(tl, /2) = ^(М^^ША, /2); тХ(Р) = ф1(/); ДКО = Ф22(№; Rx(tl, /2) = Ф2(ЬШ/2ШЬ, /2).
Из приведенных соотношений следует, что математическое ожидание для аддитивной и аддитивно-мультипликативной моделей зависит от детерминированной составляющей ф1(/). Дисперсия и корреляционная функция аддитивной модели полностью характеризуются свойствами стационарной помехи. А для мультипликативной и аддитивно-мультипликативной моделей эти вероятностные характеристики определяются также и детерминированной составляющей ф2(/).
Выражения (4) и (6) показывают, что для процессов, представленных аддитивной и аддитивно-мультипликативной моделями, математическое ожидание можно оценить по одной реализации с помощью той или иной операции, эквивалентной фильтрации низких частот.
Если дисперсия помехи е(Г) постоянная, то определить средний квадрат мультипликативного и аддитивно-мультипликативного процессов (и тем самым получить оценку дисперсии) также можно по одной реализации (Бендат, Пирсол, 1989).
Таким образом, для процессов, представленных моделями (1-3), нет необходимости проверять эргодические свойства нестационарного случайного процесса.
Точность оценки статистических характеристик зависит от типа и параметров детерминированных процессов ф1(/) и ф2(/) (РгокИогвпкоу, 2002), поэтому классификация процессов по виду нестационарности должна быть дополнена классификацией по виду детерминированных процессов.
Классификацию следует рассматривать как необходимый предварительный этап исследования случайных процессов с целью выявления их свойств до проведения основной статистической обработки, поэтому в некотором смысле классификация должна отражать алгоритм анализа наблюдаемого процесса. С учетом сказанного была разработана классификация случайных процессов при наличии одной реализации исследуемого процесса (рис. 1). В качестве классификационных признаков были выбраны класс процесса, вид нестационарности: нестационарность по математическому ожиданию (МО), нестационарность по дисперсии, нестационарность по корреляционной функции (КФ), а также законы изменения математического ожидания и дисперсии. В предлагаемой классификации в качестве детерминированных составляющих рассматриваются наиболее часто встречающиеся в инженерной практике переходные процессы: линейный, экспоненциальный, периодический, периодический затухающий.
Реализация случайного процесса
Стационарный по МО
Н естационарный по МО
СП по дисперсии
НСП по КФ
НСП по дисперсии
СП по КФ НСП по КФ
Линейный
НСП по дисперсии
СП по КФ НСП по КФ
СП по дисперсии
НСП По КФ
Экспоненциальный
Периодический
Периодический затухающий
Рис. 1. Классификация случайных процессов, представленных одной реализацией
4. Постановка задачи классификации случайных процессов
В общем случае под классификацией понимается разделение рассматриваемой совокупности объектов или явлений на однородные, в определенном смысле, группы, либо отнесение каждого из заданного множества объектов к одному из заранее известных классов. Во втором случае имеем задачу классификации при наличии обучающих выборок ("классификация с обучением"). В классическом виде решение данной задачи заключается в выполнении отображения вида:
т.е. отнесение объекта, заданного вектором информативных признаков Я = {гь г2, ..., гп}, к одному из заранее определенных классов {й?ь а2, ..., аШ}.
Процессы, представленные моделями вида (1-3), относятся к классу нестационарных случайных процессов. Для выявления нестационарных свойств предлагается использовать непараметрические критерии (Кендалл, Стьюарт, 1976), показатель Херста (Федер, 1991) и коррелограммы, по результатам применения которых будет формироваться вектор информативных признаков Я.
Значительное большинство непараметрических критериев реагируют на изменение оценки математического ожидания. Таким образом, непараметрические критерии без предварительной обработки наблюдаемого ряда позволяют выделить два класса процессов "стационарные по математическому ожиданию" и "нестационарные по математическому ожиданию".
По значению показателя Херста можно судить как о стационарности процесса по математическому ожиданию, так и о виде детерминированной составляющей. Это позволяет априорно рассматривать три класса процессов: стационарные по математическому ожиданию; нестационарные по математическому ожиданию, изменяющемуся по монотонному закону; нестационарные по математическому ожиданию, изменяющемуся по периодическому закону.
Как было отмечено в разделе 2, корреляционная функция несет информацию о динамических свойствах исследуемого процесса. Выход коррелограммы за 95 % доверительный интервал позволяет в определенной мере судить о том, насколько изучаемый процесс отличается от белого шума.
Невозможность применения процедуры классификации для одновременного выделения классов процессов нестационарных по математическому ожиданию и дисперсии приводит к необходимости двукратного применения процедуры классификации.
Вторая проблема заключается в том, что информативные признаки заданы на разных шкалах. Результат применения отдельно каждого непараметрического критерия измеряется в дихотомической шкале, и признак может принимать два значения "случайный процесс не содержит детерминированную составляющую" - "процесс содержит детерминированную составляющую", или "0" и "1". А показатель Херста измеряется в количественной шкале и принимает значения в диапазоне от нуля до единицы.
Тесты на случайность обладают различной эффективностью при различных видах детерминированных составляющих нестационарных случайных процессов, поэтому в условиях ограниченной априорной информации о свойствах исследуемого процесса решение о классе процесса следует принимать по результатам применения совокупности критериев. В связи с этим предлагается получить некий обобщенный классификационный признак. В основу классификации по непараметрическим критериям предлагается положить байесовскую процедуру для бинарных признаков (Афифи, Эйзен, 1982). Полученные таким образом оценки далее рассматриваются как обобщенный результат применения непараметрических критериев, а апостериорная вероятность - как классификационный признак. При этом шкала измерений становится такая же, что и для показателя Херста.
Третья проблема связана с зависимостью значений выделенных классификационных признаков от длины реализации и параметров исследуемого процесса, которые на этапе классификации процесса неизвестны. Поэтому следует искать ответ на вопрос: "В какой степени исследуемый процесс принадлежит тому или иному классу?". В силу такой постановки вопроса для классификации процессов предлагается использовать методы нечеткой логики.
5. Байесовская процедура классификации
Требуется выполнить классификацию процесса Х(/) на основе наличия или отсутствия п событий. Количество событий (признаков) равно количеству рассматриваемых непараметрических критериев. Определим для каждогоу-го события (у =1, 2, ..., п) случайную величину:
В нашем случае Гу = 1, если в исследуемом процессе Х(/) по критерию у выявлена тенденция изменения математического ожидания, Гу = 0 - в противном случае.
R = (rb r2, ..., rn} ^ye {di, d2, ..., dm},
1, если событие у имеет место, 0, если событие у отсутствует.
Вероятность принадлежности объекта к классу при условии равенства значения признака Ту единице обозначим какру = Рг(ту = 1| ё), тогда Рг(ту = 0| ё,) = 1-ргу для / = 1,2, ... ,т, у=1,2, ... п. Поскольку непараметрические критерии позволяют разбить множество исследуемых процессов на стационарные и нестационарные процессы, то в данном случае т = 2.
Закон распределения Ту для класса имеет вид:
/ (Ту) = РТ (1 - Ру)1-ТУ.
Результаты Ту применения непараметрических критериев являются независимыми, поэтому совместный закон распределения/ (г) для класса можно записать в виде:
/г (Г) =П /г (Ту).
Предположим, что априорные вероятности одинаковы *1 = q2 = 0,5, и стоимости ошибочной классификации равны. Стоимость ошибочной классификации в данном случае связана с потерями, которые могут быть при отнесении стационарного процесса к классу нестационарных или при отнесении нестационарного процесса к стационарному процессу. Условная вероятность Рг(ё, | г) того, что исследуемый процесс принадлежит классу при данном векторе наблюдений (апостериорная вероятность), определяется по формуле (Афифи, Эйзен, 1982):
ъ П РТ (1 - Ру)
Рг(ё/ | г) = ■
П Рку (! - Рку)1-
Процесс Х(0 относится к тому классу для которого величина Рг(ё, | г) максимальна. Величины ру оцениваются по обучающей выборке из процессов, принадлежащих всем рассматриваемым моделям (1-3) и содержащих различные типы детерминированных составляющих. Пусть 51 и 52 - число нестационарных и стационарных по МО процессов, соответственно, 5 = 51 + 52. Обозначим как ^ у число процессов класса /, для которых по у критерию выявлена нестационарность по МО. Тогда ру = wiуlSi. Оценки ру получены для различных длин реализаций случайных процессов.
Для каждого вновь поступающего процесса Х(/), характеризуемого вектором значений признаков (т1, ..., тп), оценка апостериорной вероятности имеем вид:
Рг(ё/ | г) = ■
6. Предлагаемая процедура нечеткой классификации
Каждый классификационный признак Ку задается лингвистической переменной, характеризующейся тройкой элементов <Ку, Ту, Пу>, где Ку - имя переменной; Ту - терм-множество, каждый элемент которого представляется как нечеткое множество на универсальном множестве Пу.
Универсальное множество значений показателя Херста - ПН = . Значения Н в окрестности 0,4 < Н < 0,6 определяют собой область белого шума в нечетком смысле. Значения Н в окрестности 0,3±0,1 говорят о наличии в рассматриваемом временном ряду периодической компоненты. Значения Н, близкие к единице, характеризуют наличие монотонной компоненты в исследуемом процессе.
Определим терм-множество как имена возможных составляющих нестационарных случайных процессов: "периодическая", "стационарная", "монотонная". Функции принадлежности зададим в виде разности двух гауссовых функций, определяемых соотношением:
¿и(х, сг1, с1, сг2, с2) = е а" - е °2 .
Данная функция принадлежности позволяет отразить тот факт, что для каждого типа процесса характерен некоторый диапазон значений показателя Херста - ядро нечеткого множества непустое. Исследования показали, что вероятность ошибки отнесения процесса, содержащего периодическую составляющую, к шуму
выше, чем вероятность ошибки отнесения к шуму монотонного зашумленного процесса. Несимметричная двойная гауссова функция дает возможность отразить этот момент. Функции принадлежности лингвистической переменной "показатель Херста" до настройки нечеткой модели приведены на рис. 2а.
Универсальное множество значений оценки апостериорной вероятности (7) ПРг = . Значения оценки близкие к единице говорят о наличии детерминированной составляющей в исследуемом ряду, а близкие к нулю - о случайности ряда. Терм-множество переменной "непараметрические критерии" определим как {"стационарный", "нестационарный"}. Формализацию термов осуществим с помощью двойной гауссовой функции принадлежности (рис. 2б).
Третью лингвистическую переменную назовем "коррелограмма". Универсальное множество значений этой переменной Пк = - весовой коэффициент правила с номером /р.
В качестве решения выбирают класс с максимальной степенью принадлежности:
Mdi(**), Md2 (**), ..., Mäm (**)),
где символом * обозначен вектор значений классификационных признаков исследуемого процесса.
Настройка представляет собой нахождение параметров функций принадлежности входных переменных и весовых коэффициентов правил, которые минимизируют отклонение между желаемым и действительным поведением нечеткого классификатора на обучающей выборке.
Критерии близости можно определить различными способами. В данной работе использовался критерий, предложенный в (Штовба, 2002). Обучающая выборка формируется из L пар данных, связывающих входы X = (xb x2, ..., xn) с выходом y исследуемой зависимости: (Xq, yq), q = 1, 2, ..., L. Введем следующие обозначения: P - вектор параметров функций принадлежности термов входных; W -вектор весовых коэффициентов правил базы знаний; F(Xq, P, W) - результат вывода по нечеткой базе с параметрами (P,W) при значении входов Xq; ßd(yq) - степень принадлежности значения выходной переменной y в q-ой паре обучающей выборке к решению d,; цdi(Xq, P, W) - степень принадлежности выхода нечеткой модели с параметрами (P, W) к решению d, определяемая по формуле (8) при значениях входов из q-ой пары обучающей выборки. В результате задача оптимизации принимает следующий вид:
1 L m t \ Т Z Sq Z ((yq) - Mdi (Xq, P, W))
Рис. 3. Функция принадлежности лингвистической переменной "показатель Херста" после настройки
= [ 1, если yq = F (Xq, P, W)
где q , а подынтегральное выражение в правой части - к спектральной плотности , т. е. вместо (8.19) получим одну из главных формул статистической динамики:
Поскольку левая часть равенства (11.1.20) представляет собой полную дисперсию сигнала, то каждую элементарную составляющую под знаком интеграла можно рассматривать как дисперсию или квадрат амплитуды гармоники с частотой .
Формула (11.1.20) имеет большое практическое значение, так как позволяет по известной спектральной плотности сигнала вычислять его дисперсию, которая во многих задачах расчета автоматических систем служит важной количественной характеристикой качества.
Спектральную плотность можно найти по экспериментальной реализации сигнала при помощи спектрального анализатора (рис. 11.1.3, б), состоящего из полосового фильтра ПФ с узкой полосой пропускания , квадратора Кв и интегратора И. Для определения нескольких ординат полосовой фильтр поочередно настраивают на различные частоты пропускания.
Взаимосвязь между функциональными характеристиками случайного сигнала. Н. Винером и А. Я. Хинчиным было впервые показано, что функциональные характеристики и стационарного случайного сигнала связаны друг с другом преобразованием Фурье: спектральная плотность является изображением корреляционной функции т. е.
а корреляционная функция, соответственно, является оригиналом этого изображения,т.е.
Если разложить множители с помощью формулы Эйлера (11.1.21) и учесть, что , и - четные функции, а - нечетная функция, то выражения (11.1.21) и (11.1.22) можно преобразовать к следующему виду, более удобному для практических расчетов:
Подставляя в выражение (11.1.24) значение получим формулу (11.1.20) для вычисления дисперсии.
Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами. В частности: чем шире график функции тем уже график функции , и наоборот, чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция (рис. 11.1.4). Кривые 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу (см. рис. 11.1.1, б), в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Кривые 2 соответствуют быстро меняющемуся сигналу х 2 (t) (см. рис. 11.1.1, б), в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.
Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко, и между его предыдущими и последующими значениями корреляция полностью отсутствует, то функция имеет вид дельта-функции (см. рис. 11.1.4, а, прямая 3). График спектральной плотности в этом случае представляет собой горизонтальную прямую в диапазоне частот от 0 до (см. рис. 11.1.4, б, прямая 3). Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диапазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется идеальным белым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).
Рис 11.1.4 Взаимосвязь между корреляционной функцией (а) и спектральной плотностью (б)
Отметим, что понятие «белый шум» является математической абстракцией. Физические сигналы в виде белого шума неосуществимы, так как бесконечно широкому спектру согласно формуле (11.1.20) соответствует бесконечно большая дисперсия, а следовательно, и бесконечно большая мощность, что невозможно. Тем не менее, реальные сигналы с конечным спектром часто можно приближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение правомерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире полосы пропускания системы, на которую действует сигнал.
Для всех случайных сигналов, действующих в реальных физических системах, существует корреляция между предыдущими и последующими значениями. Это означает, что корреляционные функции реальных сигналов отличаются от дельта-функции и имеют конечную, не равную нулю длительность спада. Соответственно и спектральные плотности реальных сигналов всегда имеют конечную ширину.
Характеристики связи двух случайных сигналов. Для описания вероятностной связи, проявляющейся между двумя случайными сигналами, используют взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность.
Взаимная корреляционная функция стационарных случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t) определяется выражением
Функция характеризует степень связи (корреляции) между мгновенными значениями сигналов х 1 (t) и х 2 (t), отстоящими друг от друга на величину . Если сигналы статистически не связаны (не коррелированы) между собой, то при всех значениях функция .
Для взаимной корреляционной функции справедливо следующее соотношение, вытекающее из определения (8.25):
Корреляционная функция суммы (разности) двух коррелированных между собой сигналов определяется выражением
Взаимная спектральная плотность случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t) определяется как изображение по Фурье взаимной корреляционной функции:
Из определения (11.1.28) и свойства (11.1.26) следует, что
Спектральная плотность суммы (разности) случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t)
Если сигналы х 1 (t) и х 2 (t) некоррелирвоаны между собой, то выражения (11.1.27) и (11.1.29) упрощаются:
Соотношения (11.1.31), а также (11.1.11), означают, что статистические характеристики и D x совокупности нескольких некоррелированных друг с другом случайных сигналов всегда равны сумме соответствующих характеристик этих сигналов (независимо от того, с каким знаком сигналы суммируются в эту совокупность).
Типовые случайные воздействия. Реальные случайные воздействия, влияющие на промышленные объекты управления, весьма разнообразны по своим свойствам. Но прибегая при математическом описании воздействий к некоторой идеализации, можно выделить ограниченное число типичных или типовых случайных воздействий. Корреляционные функции и спектральные плотности типовых воздействий представляют собой достаточно простые функции аргументов и . Параметры этих функций, как правило,можно легко определить по экспериментальным реализациям сигналов.
Простейшим типовым воздействием является белый шум с ограниченной шириной спектра. Спектральная плотность этого воздействия (рис. 11.1.5, а) описывается функцией
Где - интенсивность белого шума. Дисперсия сигнала согласно (11.1.20)
Корреляционная функция согласно (11.1.24) в данном случае имеет вид
Учитывая (11.1.33), функцию (11.1.34) можно записать в следующем виде:
График функции (11.1.35) показан на рис. 11.1.5, б.
Рис. 11.1.5. Спектральные плотности и корреляционные функции типовых случайных сигналов
Наиболее часто в практических расчетах встречаются сигналы с экспоненциальной корреляционной функцией (рис. 11.1.5, г)
Применяя к корреляционной функции (11.1.36) преобразование (11.1.23), находим спектральную плотность (рис. 11.1.5, в)
Чем больше параметр а х, тем быстрее уменьшается корреляционная функция и тем шире график спектральной плотности. Ординаты функции при увеличении а х уменьшаются. При рассматриваемый сигнал приближается к идеальному белому шуму.
При ориентировочных расчетах параметр а х можно определить непосредственно по реализации сигнала - среднему числу пересечений центрированным сигналом оси времени: .
Часто случайный сигнал содержит скрытую периодическую составляющую. Такой сигнал имеет экспоненциально-косинусную корреляционную функцию (рис. 11.1.5, е)
Параметр этой функции соответствует среднему значению «периода» скрытой составляющей, а параметр а х характеризует относительную интенсивность остальных случайных составляющих, которые наложены на периодическую составляющую. Если показатель , то относительный уровень этих составляющих невелик, и смешанный сигнал близок к гармоническому. Если же показатель , то уровень случайных составляющих соизмерим с «амплитудой» периодической составляющей. При корреляционная функция (8.38) практически совпадает (с точностью 5 %) с экспонентой (11.1.36).
Анализ различных задач радиотехники показывает, что по существу любой сигнал, несущий информацию, может рассматриваться как случайный (стохастический). Это обусловливается, с одной стороны, случайными искажениями сигнала при его распространении и наличием разнообразных (внешних и внутренних) помех, а с другой-несовершенством применяемых радиотехнических устройств и систем. Ряд процессов, влияющих на их технический уровень и качество, относится к категории случайных. Экспериментальный анализ таких процессов также связан с измерением характеристик соответствующих случайных сигналов.
Изучение свойств и характеристик случайных сигналов базируется, как известно, на теории вероятностей и математической статистике. Потребность в этом привела к развитию методов и средств, составляющих содержание статистических измерений. Они основаны на общих принципах измерения параметров сигналов, но имеют свою специфику и ряд принципиальных особенностей, вытекающих из теории случайных процессов. Напомним исходные определения и сведения о характеристиках случайных сигналов и уточним основные задачи техники статистических измерений.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Случайным называется сигнал, мгновенные значения которого изменяются во времени случайным образом. В связи с этим он описывается случайной функцией времени X(t), которую можно рассматривать как бесконечную совокупность (ансамбль) функций x i (t), каждая из которых представляет собой одну из возможных реализаций X(t). На рис. 8.1 в качестве примера приведена совокупность реализаций x i (t), где x i (t j)-мгновенное значение сигнала X(t), соответствующее значению i -й реализации в j -й момент времени.
Полное описание случайных сигналов может быть произведено с помощью системы вероятностных характеристик. Любая из них определяется либо усреднением по совокупности реализаций x i (t), либо усреднением по времени для одной реализации X(t). В общем случае результаты таких усреднений неодинаковы, они могут зависеть либо не зависеть от времени или номера реализации. Наличие или отсутствие этой зависимости определяет такие фундаментальные свойства сигналов, как стационарность и эргодичность. Стационарным называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Соответственно вероятностные характеристики эргодических сигналов не зависят от номера реализации.
Классификация случайных сигналов по признакам стационарности и эргодичности позволяет выделить следующие их виды: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические и нестационарные неэргодические. В рамках курса мы ограничимся рассмотрением методов и средств измерения вероятностных характеристик случайных сигналов первого вида как наиболее простого и типичного. Для таких сигналов усреднение любой вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению повремени одной теоретически бесконечно длинной реализации. Другими словами все вероятностные характеристики стационарного эргодического сигнала могут быть получены по одной его реализации. Ясно, что проводить измерения с одной реализацией сигнала значительно проще, чем с совокупностью реализаций.
Для практических приложений наиболее важны следующие вероятностные характеристики стационарных эргодических сигналов, имеющих длительность реализации Т (ГОСТ 16465-70):
среднее значение (математическое ожидание), характеризующее, как и
Рис. 8.1. Совокупность реализаций случайного сигнала.
для детерминированных сигналов (см. § 3.1), постоянную составляющую сигнала
(8.1)
средняя мощность, характеризующая энергетический уровень сигнала,
(8.2)
дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей (флюктуации) сигнала,
или среднее квадратическое отклонение его
функция распределения, определяемая как интегральная вероятность того что значение X i (t j) ниже некоторого заданного уровня х,
(8.5)
т. е. для стационарных эргодических сигналов F x характеризуется относительным временем пребывания значений реализации ниже уровня х ( - i -й интервал пребывания; п - количество интервалов);
одномерная плотность вероятности, называемая также дифференциальным законом распределения,
(8.6)
где - расстояние между соседними уровнями X i (t j) и , называемое дифференциальным коридором, а - i -й интервал пребывания реализации в пределах этого коридора;
корреляционная функция, характеризующая стохастическую связь между мгновенными значениями случайного сигнала, разделенными заданным интервалом времени ,
или нормированная корреляционная функция
(8.8)
взаимная корреляционная функция, характеризующая стохастическую связь между мгновенными значениями двух случайных сигналов X(t) иY(t), разделенными интервалом времени ,
и соответствующая ей нормированная взаимная корреляционная функция
спектральная плотность мощности, определяющая среднюю мощность сигнала, приходящуюся на единицу полосы частот. Распределение средней мощности по частоте характеризует энергетический спектр сигнала. Он может быть определен для каждой реализации x i (t) по общим правилам (см. § 7.8). Оказывается, что для стационарных случайных сигналов функция спектральной плотности мощности связана с корреляционной функцией парой преобразований Фурье (теорема Винера - Хинчина):
(8.11)
Если мы имеем два стационарных сигнала X(t) иY(t), они могут быть охарактеризованы взаимной спектральной плотностью мощности, которая в общем случае является комплексной величиной . Поэтому на практике определяют функции действительной и мнимой составляющих :
(8.12)
При расчетах по формулам (8.11) и (8.12) можно пользоваться значениями и . Тогда функции спектральной плотности мощности будут нормированными.
Как следует из формул (8.1) - (8.12), все вероятностные характеристики, представляющие собой неслучайные числа или функции, определяются по одной реализации X(t) бесконечной длительности. Практически же длительность Т, называемая продолжительностью анализа, всегда ограничена. Поэтому реально всякая экспериментальная характеристика отличается от соответствующей вероятностной (теоретической) характеристики и может являться только ее оценкой. Оценки, полученные аппаратурным путем, называются статистическими характеристиками и обозначаются знаком « » (см. § 1.3). В этом смысле измерение характеристик случайных сигналов всегда сопровождается статистическими погрешностями. В остальном метрологические характеристики анализаторов статистических характеристик аналогичны характеристикам приборов других подгрупп и регламентируются ГОСТ 8.251-77. Анализаторы статистических характеристик входят в подгруппу X (см. § 2.1), где они образуют вид Х6.
Измерительные сигналы, являясь случайными сигналами, не могут быть описаны математической функцией времени с полной определенностью.
В соответствии с этим можно говорить лишь о вероятности появления в каждый данный момент того или иного значения сигнала .
При подобном подходе объектом изучения становятся не характеристики конкретного сигнала, а вероятностные статистические характеристики совокупности сигналов электросвязи того или иного вида связи .
К статистическим характеристикам случайного сигнала s (t ) относятся:
среднее значение (постоянная составляющая)
где Т - время наблюдения случайного процесса;
мгновенная мощность случайного сигнала s (t )в момент t по определению равен
энергия случайного сигнала s (t )равна интегралу от мощности по всему интервалу времени существования или задания сигнала. В пределе:
средняя мощность случайного сигнала s (t ) в интервале t 2 –t 1
Понятие средней мощности может быть распространено и на случай неограниченного интервала Т = t 2 – t 1 ⟹∞. Строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:
Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (220 В – действующее значение гармонического колебания с амплитудой 380 В).
Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):
w(t) = |s(t)| 2 /R,
В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналовиспользуются в более широком смысле, чем в физике . Они представляют собой метрологические характеристики сигналов
Если в выражении для энергии
взять не квадрат модуля сигнала, а произведение сигнала и его же, но смещенного на время τ, то получится автокорреляционная функция
В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:
Энергетический спектр (спектральная плотность средней мощности)
Функция G (ω )представляет собой спектральную плотность средней мощности процесса, т. е. мощность, заключенную в бесконечно малой полосе частот.
Мощность, заключенную в конечной полосе частот между ω 1 и ω 2 определяют интегрированием функции G (ω ) в соответствующих пределах:
3.3. Динамический диапазон и пик-фактор сигналов .
Мгновенная мощность сигналов связи может принимать различные значения в самых широких пределах. Чтобы охарактеризовать эти пределы вводят понятия динамического диапазона и пик-фактора сигнала .
Динамический диапазон сигнала дБ, определяется выражением
где W тах и W min - максимальное и минимальное значения мгновенной мощности.
Под W тах обычно понимают значение мгновенной мощности сигнала, вероятность превышения которого достаточно мала (например, равна 0,01). О величине этой вероятности условливаются для каждого конкретного сигнала.
Пик-фактором сигнала называют отношение его максимальной мощности к средней. В логарифмических единицах
В некоторых случаях динамический диапазон и пик-фактор определяют не в логарифмических, а в абсолютных единицах (в «разах»).
