Свойства гомоморфизмов колец. Кольцо изоморфное кольцу, поле изоморфное полю Что будем делать с полученным материалом
То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего положения:
Если множества M и M" изоморфны относительно некоторой системы отношений S , то любое свойство множества M , формулированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отношений, определяемых через отношения системы S ), переносится на множество M" , и обратно.
Разберем это положение на конкретном примере.
Пусть в множествах M и M" определено отношение "больше", и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если M упорядочено, т. е. если в M выполнены свойства 1) и 2) из раздела , то они выполнены и в M" .
Докажем свойство 1). Пусть a" и b" - элементы M" и a и b - соответствующие элементы M . В силу условия 1) в M выполнено одно из соотношений a = b , a > b , b > a . Отображение M на M" сохраняет отношение "больше". Значит, выполнено одно из соотношений a" = b" , a" > b" , b" > a" . Если бы в M" выполнялось более одного из них, то из сохранения отношения "больше" при отображении M" на M следовало бы выполнение более одного отношения для a и b , что противоречит условию 1).
Докажем свойство 2). Если a" > b" и b" > c" , то также a > b и b > c . В самом деле, в M должно быть a > c . Значит, a" > c" .
Займемся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того, что здесь отношения a + b = c и ab = c удовлетворяют дополнительным требованиям, что для любых a и b существует одно и только одно c , для которого a + b = c или ab = c (эти два требования являются по существу двумя дополнительными аксиомами), причем эти требования предполагаются выполненными как в M , так и в M" , определение изоморфизма групп колец и полей можно упростить по сравнению с определением , а именно требовать сохранения основных отношений лишь при переходе от M к M" . Ограничиваясь случаем колец и полей, нужным в дальнейшем при определении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким образом:
Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю ) R" (запись ), если существует взаимно однозначное отображение R на R" , при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R" .
Покажем, что это определение является частным случаем общего определения . Для этого надо лишь убедиться, что обратное отображение R" на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в R" имеем: a" + b" = c" , и элементам a" , b" , c" при обратном отображении соответствуют a , b , c из R . Надо доказать, что a + b = c . Но если a + b = d ≠ c , то из определения, данного в предыдущем абзаце, следовало бы a" + b" = d" ≠ c" , что противоречит однозначности операции сложения в R"
1. Композиция гомоморфизмов колец – гомоморфизм колец.
Пусть , , – кольца, , – гомоморфизмы колец, – композиция функций. Тогда для " a , b Î K 1 выполняются равенства:
Итак, – гомоморфизм колец.
2. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то – подкольцо K 2 .
Im f Í K 2 и . (K 1 , +) и (K 2 , ) – группы, f – гомоморфизм данных аддитивных групп. Поэтому, по свойству 2 гомоморфизмов групп . Для выполняется , поскольку f – гомоморфизм колец. Следовательно, Im f – подкольцо K 2 .
3. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то и для .
Так как f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм соответствующих аддитивных групп колец (K 1 , +) и (K 2 , ), то по свойству 2 гомоморфизмов групп имеем и для . Непосредственное доказательство:
по определению гомоморфизма, нейтрального и противоположного элемента аддитивной группы.
4. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то и для в Im f , где – единица K 1 и – единица Im f .
Согласно свойству 2 . Если – единица K 1 , то для , поскольку f – гомоморфизм, выполняется
То есть – единица . Для выполняются равенства и f (a –1) · f (a ), следовательно, в Im f .
5. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то Ker f – двусторонний идеал K 1 .
Ker f Í K 1 и Ker f ¹ Æ, так как Ker f по свойству 3. Для " a , b Î Ker f . Далее, для " a Î Ker f , " k Î K 1 выполняется , . Итак,
Пример 4.6.4. Рассмотрим функцию f : Z /28Z ® Z /28Z , где . f – эндоморфизм кольца (Z /28Z , Å, Ä), так как для любых , Î Z /28Z
Можно заметить, что для , поскольку , а также, что Im f и Ker f являются главными идеалами кольца Z /28Z , то есть Im f , где (k , 28) = 28/7 = 4, и Ker f , где (l , 28) = 28/4 = 7. Таким образом,
Im f – подкольцо Z /28Z , но , поскольку Im f .·
6. Гомоморфизм колец f : K 1 ® K 2 является мономорфизмом тогда и только тогда, когда .
Доказательство вытекает из свойства 4 гомоморфизмов групп, поскольку f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм соответствующих групп (K 1 , +) и (K 2 , ).
Из свойств 5 и 6 следует, что любой гомоморфизм произвольных полей является либо нулевым, либо инъективным (так как поле не имеет нетривиальных идеалов). Гомоморфизмы позволяют произвести отождествления изоморфных полей, установить между полями отношения частичного порядка – по включению.
Теорема 4.6.1 (первая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть (K , +, ×) – кольцо, – двусторонний идеал. Тогда существует эпиморфизм колец для которого Ker f = I .
Построим функцию , где . f – сюръекция: , , существует .
для согласно построению факторкольца (K /I , Å, Ä). Поэтому f – гомо-морфизм колец.
Для Ker f . Пусть но если , так как различные классы вычетов по модулю двустороннего идеала не пересекаются. Получается противоречие. Значит, и . Итак,
Определение 4.6.4. Гомоморфизм колец где при ко-тором называется естественным (каноническим ) гомомор-физмом.
Теорема 4.6.2 (вторая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть– гомоморфизм кольца в кольцо . Тогда
(свойство 2 гомоморфизмов колец), (свойство 5 гомоморфизмов колец). Построим функцию f : , где . f – сюръективная функция, так как для .
f не зависит от выбора представителя класса вычетов : пусть a 1 = a + i , тогда получаем, что
Пусть , тогда . Так как иначе , что приводит к противоречию тому, что . Значит, f – инъекция. Итак, f : – биективная функция.
для . Значит, f – гомоморфизм колец. Таким образом, f – изоморфизм колец и .
Поскольку для произвольного кольца , из свойства 6 гомоморфизмов колец и теоремы 4.6.2 следует, что любой инъективный эндоморфизм кольца является автоморфизмом. В частности, любой ненулевой эндоморфизм поля является его автоморфизмом.
Пример 4.6.5. Пусть (P , +, ×) – поле, (P [x ], +, ×) – кольцо полиномов над полем P . – фиксированный элемент поля. Рассмотрим функцию , где . Тогда для справедливы равенства:
следовательно, y – гомоморфизм колец.
по следствию 1 из теоремы Безу 4.4.4. y – сюръекция, так как для и . Значит, Таким образом, по теореме 4.6.2 .·
Развитием следствия 2 из теоремы 4.5.2 является следующая теорема.
Теорема 4.6.3 (теорема существования корня). Для всякого неприводимого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее корень этого полинома и изоморфное полю P [x ]/< f (x ) >.
Факторкольцо (P [x ]/< f (x ) >, Å, Ä) является полем согласно следствию 2 из теоремы 4.5.2. Подполе в P [x ]/< f (x ) > изоморфно полю P , очевидно, изоморфизм задает функция y : P ® P [x ]/< f (x ) >, где y (a ) = , являющаяся вложением P в P [x ]/< f (x ) >, как уже говорилось в примере 4.6.3. Пусть f (x ) = a n x n +…+a 1 x +a 0 , , тогда в поле P [x ]/< f (x ) > . Но поскольку = , то, является корнем полинома . Рассмотрим теперь множество S , удовлетворяющее условиям: S ÇP = Æ, | S | = | (P [x ]/< f (x ) >)\ | ¹ 0 при n > 1. Пусть F = S ÈP , при n = 1 F = P . Зададим на F структуру поля, продолжив мономорфизм y до изоморфизма F на P [x ]/< f (x ) >. Если b , c ÎF , то полагаем
b +c = y –1 (y (b )Åy (c )), b ×c = y –1 (y (b )Äy (c )).
При ограничениях на P эти операции совпадают соответственно с заданными операциями сложения и умножения в P , и ясно, что P – подполе F . Положим a = , тогда y (f (a )) = y (a n a n +…+a 1 a +a 0) = = = и, поскольку y – изоморфизм F на P [x ]/< f (x ) >, f (a ) = 0 в поле (F , +, ×). Значит, построенное поле является расширением поля P , содержащим корень a полинома f (x ).
Следствие 1. Для любого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее корень этого полинома.
По теореме 4.4.1 полином f (x ) однозначно разлагается на множители: f (x ) = , где , – неприводимые над P полиномы со старшими коэффициентами, равными 1, – старший коэффициент f (x ). Согласно теореме 4.6.3 для каждого существует расширение поля P , содержащее корень данного полинома, являющийся и корнем полинома f (x ) в соответствии со следствием 1 из теоремы Безу 4.4.4 и свойством 3 делимости полиномов.
Замечание. Тот факт, что расширение поля P содержит корень a полинома f (x )ÎP [x ], вовсе не означает, что содержит все корни этого полинома.
Пример 4.6.6. Полином f (x ) = x 4 –2 неприводим над Q по по признаку Эйзенштейна: p = 2. В поле C данный полином имеет четыре простых корня: , , и . Но поле содержит только первый и третий из этих корней, но не все четыре.·
Следствие 2. Для любого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее все корни f (x ).
Доказательство проведем индукцией по степени полинома f (x ). Если deg f = 1, то f (x ) = ax +b , a ¹ 0, и – a –1 b ÎP – единственный корень f (x ), значит, P – искомое поле. Предположим, что утверждение верно для всех многочленов степеней, меньших фиксированного n ÎN >1 , с коэффициентами из произвольных полей.
Пусть теперь deg f = n > 1. Тогда по следствию 1 из теоремы 4.6.3 существует расширение P 1 поля P , содержащее корень a полинома f (x ). Согласно следствию 1 из теоремы 4.4.4 в P 1 [x ] f (x ) = (x –a )g (x ), где g (x )ÎP 1 [x ] и deg g = = n –1. По предположению индукции существует расширение P 2 поля P 1 , содержащее все корни g (x ). Так как P 2 является расширением поля P и содержит все корни полинома f (x ) (оно содержит a и все корни полинома g (x )), то P 2 и есть искомое расширение.
Теорема 4.6.4. Пусть – эпиморфизм колец, Ker f = I . Тогда существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между всеми идеалами кольца и идеалами U кольца (K , +, ×), содержащими I , такое что , .
, Ker f = I . Пусть – произвольный идеал кольца , соответственно левый, правый, двусторонний. Рассмотрим прообраз идеала при отображении f – . Тогда для , выполняются следующие свойства:
1) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;
2) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;
3) , если – левый идеал, , если – правый идеал, , если – двусторонний идеал, так как соответственно , , , поскольку и соответственно , , , а , .
Таким образом, является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K , +, ×) согласно определению. Поскольку , то . Если – идеалы кольца , причем , то для , значит, для , такое что , поскольку , , следовательно, . Итак, существует функция, заданная на множестве всех идеалов кольца , которая каждому левому, правому, двустороннему идеалу ставит в соответствие его прообраз при отображении f , являющийся соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K , +, ×), содержащим I , и данная функция сохраняет включения идеалов. , то для K и соответственно левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца .
Согласно теореме 4.6.2 существует изоморфизм колец , . Применяя теорему 4.6.3, получаем, что f задает требуемое взаимно однозначное соответствие между идеалами кольца и кольца , такое что , .
Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция, называется кольцом, если выполнены аксиомы.
I. - абелева группа.
II. 1) - ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности: - левый дистрибутивный закон, - правый дистрибутивный закон.
Называется аддитивной группой кольца.
Определение. Кольцо называется кольцом с единицей , если существует
Определение. Кольцо называется коммутативным, если
Определение. Элементы называются делителями , если
Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:
Кольцо - коммутативно.
Кольцо с единицей , где .
Кольцо не имеет делителей нуля.
П.2. Примеры колец.
Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как и . Это коммутативное кольцо, так как . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.
Проверим, будет ли на множестве - кольцо.
Бинарная операция на множестве .
Унарная операция на множестве .
Значит - алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.
Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть . Определим операции , ; , .
Бинарные операции на множестве
Значит - унарная операция на множестве .
Значит - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство - равенство функции: из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от а) б). Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей . Действительно, (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , , (нулевая функция). Вычислим (равно нулевой функции). Значит , - делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.
П.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:
Доказательство. - абелева группа, имеем
Доказательство. - абелева группа, имеем .
Если , если .
Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве .
Если , если .
Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
Если , если .
Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
Доказательство. Докажем, что .
Доказательство. Докажем, что рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что .
Обозначение: .
(правый дистрибутивный закон), (левый дистрибутивный закон).
Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.
Доказательство. Вычислим сумму .
П.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца и .
Определение. Гомоморфизмом кольца в кольце называется функция и обладающая свойствами:
Другими словами, гомоморфизм колец - это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если - гомоморфизм кольца в , то - гомоморфизм абелевых групп в группу .
Теорема. Пусть и - кольца и , обладающих свойствами:
Тогда - гомоморфизм колец.
Доказательство. Из свойства является гомоморфизмом групп и , поэтому обладает свойствами: , , значит по определению - гомоморфизм колец.
Определение. Отображение называется изоморфизмом кольца на , если обладает свойствами:
Гомоморфизм колец.
Биекция.
Другими словами: изоморфизм - это гомоморфизм, являющийся биекцией.
П.5. Подкольца.
Пусть - кольцо, , .
Определение. Множество - замкнуто относительно операции , если .
Множество - замкнуто относительно операции , если . Множество - замкнуто относительно операции , если .
Теорема. Пусть - кольцо, , , если - замкнуто относительно операции , то - кольцо, которое называется подкольцом, кольца .
Доказательство. - бинарные операции, - унарная операция, так как - замкнутое множество. Так как , то существует , так как - замкнуто относительно операции , то , значит - алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на , потому алгебра - кольцо.
Теорема. Пусть - числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.
П.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система , где бинарные операции, - унарная операция, , , называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:
I. - кольцо.
Абелева группа
Аддитивная группа
II. Множество - замкнуто относительно операций и алгебраическая система является системой натуральных чисел (системой Пеано).
Аксиома индукции: пусть . Если множество удовлетворяет условиям: | , где . Число называется делимым, - делителем, - частным, - остатком при делении на .
Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел , . Для этого рассмотрим множество . Множество содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть - наименьшее неотрицательное число в , тогда . Докажем, что , предположим противное . Рассмотрим число . противоречие с выбором . Доказано, что , . Докажем единственность чисел и , пусть . , . Докажем, что , предположим противное . Пусть . Имеем противоречие, так как между числами нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то , а отсюда следует, что . Доказана единственность чисел и .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье - М.: Физмат лит-ра, 2001
Определение 1.7. Пусть (A , ) и (B , ) – группы. Отображение : A B называется гомоморфизмом групп , если оно сохраняет операцию, т.е. x , y A (x y ) = (x ) (y ).
Определение 1.8. Если (A , + , ) и (B , , ) – кольца, то отображение : A B называется гомоморфизмом колец , если оно сохраняет обе операции, т.е.
x , y A (x + y ) = (x ) (y ), x , y A (x y ) = (x ) (y ).
Определение 1.9. Инъективные гомоморфизмы называют мономорфизмами или вложениями , сюръективные гомоморфизмы – эпиморфизмами или наложениями , а биективные – изоморфизмами .
Определение 1.10. Если существует гомоморфизм групп или колец : А B , то группы или кольца А , В называют изоморфными .
Смысл изоморфизма состоит в том, что он устанавливает такое соответствие между элементами изоморфных объектов, которое показывает, что с точки зрения сохраняемых алгебраических операций изоморфные объекты неразличимы.
Примеры: 1. Тождественный изоморфизм I : A A , x A I (x ) = x . (A – группа или кольцо).
2. Единичный или нулевой эпиморфизм : если E = {e } – одноэлементный объект (единичная группа или нулевое кольцо), то для любой группы (A , ) или кольца определён эпиморфизм О: A E , x A О (x ) = e .
3. Естественные вложения групп и колец: Z Q R C .
Свойства гомоморфизмов
Если : (A , ) (B , ) – гомоморфизм групп, то
1 0 . (e A ) = e B , т.е. переводит единичный элемент в единичный.
2 0 . a A (a – 1) = (a ) – 1 , т.е. переводит обратный элемент к а в обратный к (а ).
3 0 . В случае гомоморфизма колец : (A , + , ) (B , , ) получаем (0 А ) = 0 В , (– a ) = – (a ).
4 0 . Для гомоморфизма колец : (A , +, ) (B , , ) верно:
x , y A (x – y ) = (x ) – (y ).
5 0 . Гомоморфизм полей : (A , + , ) (B , , ) либо нулевой, либо вложение.
60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1: w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
Изоморфизм (или изоморфность) – одно из основополагающих понятий современной математики. Два однотипных математических объекта (или структуры) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение одного из них на другой, такое, что оно и обратное к нему сохраняют строение объектов, т.е. элементы, находящиеся в некотором отношении, переводятся в элементы, находящиеся в соответствующем отношении.
Изоморфные объекты могут иметь различную природу элементов и отношений между ними, но они совершенно одинаково абстрактно устроены, служат копиями друг друга. Изоморфизм представляет собой «абстрактное равенство» однотипных объектов. Например, аддитивная группа классов вычетов по модулю n изоморфна мультипликативной группе комплексных корней n -ой степени из 1.
Отношение изоморфности на любом классе однотипных математических объектов, будучи отношением эквивалентности, разбивает исходный класс объектов на классы изоморфности – классы попарно изоморфных объектов. Выбирая в каждом классе изоморфности по одному объекту, мы получаем полный абстрактный обзор данного класса математических объектов. Идея изоморфизма заключается в представлении или описании объектов данного класса с точностью до изоморфизма.
Для каждого данного класса объектов существует проблема изоморфизма . Изоморфны ли два произвольных объекта из данного класса? Как это выясняется? Для доказательства изоморфности двух объектов, как правило, строится конкретный изоморфизм между ними. Или устанавливается, что оба объекта изоморфны некоторому третьему объекту. Для проверки неизоморфности двух объектов достаточно указать абстрактное свойство, которым обладает один из объектов, но не обладает другой.
МЕТОДИКА 11. Ю.М.Колягин различает два вида внеклассной работы по математике.
Работа с учащимися отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике.
Работа с учащимися проявляющими интерес к математике.
Но можно выделить ещё и третий вид работы.
Работа с учащимися по развитию интереса в изучении математики.
Существуют следующие формы внеклассной работы:
Математический кружок.
Факультатив.
Олимпиады конкурсы, викторины.
Математические олимпиады.
Математические дискуссии.
Неделя математики.
Школьная и классная математическая печать.
Изготовление математических моделей.
Математические экскурсии.
Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д.
Этапы организации.
Подготовительный
Организационный
возбудить интерес к внеурочным занятиям;
привлечь к участию в массовых мероприятиях и отдельных состязаниях;
Дидактический
помочь в преодолении трудностей;
поддерживать возникающий интерес к дополнительным занятиям;
желание заниматься математическим самообразованием
Основной
создать базу каждому ученику для дальнейших личных успехов;
помочь учащимся осознать социальную, практическую и личностную значимость внеклассных занятий;
формировать положительную мотивацию участия во внеклассных мероприятиях
Заключительный
провести диагностику и рефлексию, проводимых внеклассных занятий;
подвести итоги и поощрить учащихся принявших активное участие
Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.
Пусть R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) и R 2 = (R 2 , +, ⋅, 0, 1 ) - кольца.
Определение 2.9. Отображение f: R 1 → R 2 называют гомоморфизмом колец (кольца R 1 в кольцо R 1), если f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для любых x, у ∈ R 1 , т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца R 1 при отображении f равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце R 2 .
Если отображение f сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом ) колец (кольца R 1 на кольцо R 2)
Пример 2.25. Рассмотрим R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) - кольцо целых чисел - и ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) - кольцо вычетов по модулю k. Зададим отображение f: ℤ → ℤ k так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления m на k. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых m и n имеет место равенство f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых тип также верно равенство f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n). С учетом того что отображение f сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо ℤ k вычетов по модулю k. #
Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.
Теорема 2.20. Пусть R 1 и R 2 - произвольные кольца. Если f: R 1 → R 2 - гомоморфизм, то
- образ нуля кольца R 1 при отображении f есть нуль кольца R 2 , т.е. f(0 ) = 0 ;
- образ единицы кольца R 1 при отображении f есть единица кольца R 2 , т.е. f(1 ) = 1 ;
- для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, противоположного элементу x, равен элементу, противоположному образу элемента x, т.е. f(-x) = -f(x);
- если кольца R 1 и R 1 являются полями, то для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, обратного к элементу х по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента x, т.е. f(x -1) = -1
Теорема 2.21 . Если f - гомоморфизм кольца R в кольцо K , a g - гомоморфизм кольца K в кольцо L , то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм кольца R , в кольцо L .
Теорема 2.22. Если f: R 1 → R 2 - изоморфизм кольца R 1 на кольцо R 2 , то отображение f -1 есть изоморфизм кольца R 2 на кольцо R 1 . #
Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо К называют гомоморфным образом кольца R , если существует гомоморфизм кольца R на кольцо K . Два кольца R и K называют изоморфными и пишут R ≅ K , если существует изоморфизм одного из них на другой.
Так, например, кольцо вычетов по модулю к есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому т сопоставляет остаток от деления m на k.
Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.
Пример 2.26 . Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а + bi матрицу f(a + bi) = . Получим отображение f , которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, где 0 - нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а 2 + b 2 , среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.
Далее, легко проверить, что множество таких матриц за- замкнуто относительно операций сложения и умножения ма- матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу -А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида , a, b, ∈ ℝ , с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его М (a,b)2 .
Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля М (a,b)2 . Так как
f[(a+bi) + (c+di)] = f{(a+c) + (b+d)i] =
F(a+bi) + f(c+di),
то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля М (a,b)2 . Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц М (a,b)2 . Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.
