Отношение порядка в системе целых чисел. Отношение строгого и нестрогого порядка. Их свойства, примеры. Отношения нестрогого качественного порядка

Последний пример представляет понятие алфавитного порядка.

Алфавит - это кортеж попарно различных символов, называемых буквами алфавита. Примером служит алфавит любого европейского языка, а также алфавит из 10 арабских цифр В компьютере клавиатура и некоторые вспомогательные средства определяют алфавит допустимых символов.

Слово в алфавите А - кортеж из символов алфавита А. Слово записывается символами алфавита подряд, слева направо, без пробелов Натуральное число является словом в цифровом алфавите Формула не всегда является словом из-за нелинейного расположения символов наличие надстрочных (показатели степени) и подстрочных (индексы переменных, основания логарифмов) символов, дробная черта, знаки радикалов и др.; однако путем некоторых соглашений она может быть приведена к записи в строку, что и применяется, например, в компьютерном программировании (так, знак возведения в степень записывается как 2 знака умножения подряд: 5**3 означает третью степень числа 5.

Лексико-графическое (алфавитное) упорядочение - для различных слов в алфавите с упорядоченными

символами устанавливается упорядочение: , если

возможно представление , при котором либо

(подслово может быть пустым), либо - пустое подслово

В этом определении - префикс (начальное подслово), одинаковый у обоих слов - либо первые по счету слева различные

символы, либо - последний символ в слове- хвостовые

подслова.

Таким образом, алфавитное упорядочение слов определяется первым слева различающим их символом (например, слово КОНУС предшествует слову КОСИНУС, поскольку они впервые различаются в третьей букве, и Н предшествует С в русском алфавите). Считается также, что символ пробела предшествует любому символу алфавита - для случая, когда одно из слов является префиксом другого (например, КОН и КОНУС)

Упражнение. Проверьте, что алфавитное упорядочение натуральных чисел, имеющих одинаковое число разрядов в десятичной записи, совпадает с упорядочением их по величине.

Пусть А - частично упорядоченное множество. Элемент называется максимальным в А, если не существует элемента для которого а < b. Элемент а называется наибольшим в А, если для всякого отличного от а элемента выполнено Ь<а-

Симметричным образом определяются минимальный и наименьший элементы. Понятия наибольшего и максимального (соответственно, наименьшего и минимального) элементов различны -см. пример на рис.14. Множество на рис. 14,а имеет наибольший элемент р, он же является максимальным, минимальных элементов два: s и t, наименьшего нет. На рис.14,б, напротив, множество, имеющее два максимальных элемента / и j , наибольшего нет, минимальный, он же наименьший - один: т.

Вообще, если у множества есть наибольший (соответственно, наименьший) элемент, то только один (может не быть ни одного).

Максимальных и минимальных элементов может быть несколько (может не быть совсем - в бесконечном множестве; в конечном случае -обязательно есть).

Разберем еще два примера. - отношение на множестве N :

"Y делит X", или "X является делителем числа Y" (например,

) является рефлексивным и транзитивным. Рассмотрим его на конечном множестве делителей числа 30.

Отношение является отношением частичного порядка (нестрогого)

и изображается следующей матрицей порядка 8, содержащей 31 знак

Соответствующая схема с 8 вершинами должна содержать 31 связку. . Однако она будет более удобна для обозрения, если исключить 8

связок-петель, изображающих рефлексивность отношения (диагональные элементы матрицы) и транзитивные связки, т.е. связки

Если есть промежуточное число Z такое, что

(например, связку , поскольку ). Тогда в схеме

останется 12 связок (рис.15); недостающие звенья подразумеваются "по транзитивности". Число 1 является наименьшим, а число 30

наибольшим элементами в . Если исключить из число 30 и

рассмотреть тот же частичный порядок на множестве , то

наибольшего элемента нет, но имеются 3 максимальных элемента: 6, 10, 15

Теперь построим такую же схему для отношения на булеане

(множестве всех подмножеств) трехэлементного множества

Содержит 8 элементов:

Проверьте, что если сопоставить элементам а,Ь,с, соответственно числа 2, 3, 5, а операции объединения множеств - умножение соответствующих чисел (т.е., например, подмножеству отвечает

произведение 2 5 = 10), то матрица отношения будет точно такой

же, как для отношения ; схемы этих двух отношений с описанными

сокращениями петель и транзитивных связок с точностью до обозначений совпадают (см. рис.16). Наименьшим элементом является

А наибольшим -

Бинарные отношения R на множестве А и S на множестве В называются изоморфными, если между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие Г, при котором, если (т.е.

элементы находятся в отношении R), то (образы

этих элементов находятся в отношении S).

Так, частично упорядоченные множества и изоморфны.

Рассмотренный пример допускает обобщение.

Отношение на булеане есть частичный порядок. Если

Т.е. множество Е содержит п элементов , то каждому

подмножеству соответствует п -мерный вектор с

компонентами , где - характеристическая функция

множества Л/ . Совокупность всех таких векторов можно рассматривать как множество точек п -мерного арифметического пространства с координатами 0 или 1, или, по-другому, как вершины п -мерного

единичного куба, обозначаемого , т.е. куба с ребрами единичной длины. Для п = 1, 2, 3 указанные точки представляют собой соответственно концы отрезка, вершины квадрата и куба - отсюда общее название. Для /7=4 графическое изображение этого отношения - на рис.17. Около каждой вершины 4-мерного куба указано соответствующее

подмножество 4-элементного множества и четырехмерный

вектор, представляющий характеристическую функцию этого подмножества. Соединены между собой вершины, отвечающие подмножествам, которые различаются присутствием ровно одного элемента.

На рис.17 четырехмерный куб изображен так, что на одном

уровне расположены попарно не сравнимые элементы, содержащие одинаковое число единиц в записи (от 0 до 4), или, по-другому, одинаковое число элементов в представляемых подмножествах.

На рис.18а,б - другие наглядные представления 4-мерного куба;

на рис.18а ось первой переменной ОХ направлена вверх (намеренное отклонение от вертикали, чтобы не сливались различные ребра куба):

при этом 3-мерный подкуб, соответствующий X = 0 расположен ниже, а для X = 1 - выше. На рис. 186 та же ось ОХ направлена изнутри куба наружу внутренний подкуб соответствует X = О, а внешний - X = 1.

В
файле материалов приведено изображение 5-мерного единичного куба (стр.134).

Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у » на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х у , то и студент у является однокурсником студента х ;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у , а студент у – однокурсник z , то студент х будет однокурсником студента z .

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х , порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения: (самостоятельно)

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у ».

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно и асимметрично.

Примеры отношений строгого порядка: «больше» на множестве натуральных чисел, «выше» на множестве людей и др.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением нестрогого порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Примеры отношений нестрогого порядка: «не больше» на множестве действительных чисел, «быть делителем» на множестве натуральных чисел и др.

Определение. Множество Х называют упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Пример . На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5} заданы два отношения: «х £ у » и «х – делитель у ».

Оба эти отношения обладают свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности (постройте графы и проверьте свойства самостоятельно), т.е. являются отношением нестрогого порядка. Но первое отношение обладает свойством связности, а второе – нет.

Определение. Отношение порядка R на множестве Х называется отношением линейного порядка, если оно обладает свойством связности.

В начальной школе изучаются многие отношения порядка. Уже в первом классе водятся отношение «меньше», «больше» на множестве натуральных чисел, «короче», «длиннее» на множестве отрезков и др.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х .

2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R ?

3. Перечислите способы задания отношений.

4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе?

5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности?

6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы?

7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка?

Слово «порядок» часто применяют в са-мых различных вопросах. Офицер дает команду: «По порядку номе-ров рассчитайся», арифметические действия выполняются в опре-деленном порядке, спортсмены становятся по росту, все ведущие шахматисты располагаются в определенном порядке по так назы-ваемым коэффициентам Эло (американский профессор, который раз-работал систему коэффициентов, позволяющую учитывать все ус-пехи и неудачи игроков), после первенства все футбольные команды располагаются в определенном порядке и т. д. Существует порядок выполнения операций при изготовлении детали, порядок слов в предложении (попробуйте понять, что значит предложение «на он старика посадил осла не»!).

Располагая элементы некоторого множества друг за другом, мы тем самым упорядочиваем их или устанавливаем между ними некоторое отношение по-рядка. Простейшим примером является естественный порядок натуральных чисел . Его естественность заключается в том, что для любых двух натураль-ных чисел мы знаем, какое из них следует за другим или какое из них больше другого, поэтому мы можем расположить натуральные числа в последова-тельности так, что большее число будет расположено, например, правее меньшего: 1, 2, 3, ... . Разумеется, последовательность элементов можно вы-писывать в любом направлении, а не только слева направо. Само понятие натуральных чисел уже содержит в себе идею упорядоченности. Устанавливая некоторое относительное расположение элементов какого-либо множества, мы тем самым задаем на нем некоторое бинарное отноше-ние порядка, которое в каждом конкретном случае может иметь свое назва-ние, например, "быть меньше", "быть старше", "содержаться в", "следовать за" и т. д. Символические обозначения порядка также могут быть разнооб-разными, например, Í, и т. д.

Главным отличительным признаком отношения порядка является наличие у него свойства транзитивности. Так, если мы имеем дело с последовательно-стью каких-то объектов x 1 , х 2 , ..., х n , ... , упорядоченных, например, по отно-шению , то из того, что выполняется х 1 х 2 ... х п ..., должно следо-вать, что для любой пары х i , х j элементов этой последовательности также выполняется x i x j :

Для пары элементов x i j в графе отношения мы проводим стрелку от вершины x i к вершине x j , т. е. от меньшего элемента к большему.

Граф отношения порядка можно упростить, если воспользоваться методом так называемых диаграмм Хассе. Диаграмма Хассе строится сле-дующим образом. Меньшие по порядку элементы располагают ниже, а большие - выше. Поскольку одного такого правила недостаточно для изо-бражения, проводят линии, показывающие, какой из двух элементов больше, а какой меньше другого. При этом достаточно нарисовать лишь линии для непосредственно следующих друг за другом элементов. Примеры диаграмм Хассе показаны на рисунке:

В диаграмме Хассе можно не указывать стрелки. Диа-грамму Хассе можно поворачивать в плоскости, но не произвольно. При поворотах необходимо сохранять относительное положение (выше - ниже) вершин диаграммы:

Отноше-ние R в множестве X называется отношением строгого поряд-ка, если оно транзитивно и асимметрично.

Множество, в котором определено отношение строгого порядка, назы-вают упорядоченным. Например, мно-жество натуральных чисел упорядочено отношением «меньше». Но это же множество упорядочено и другим отношением - «делится на» и «больше».

Граф отношения «меньше» в множестве натуральных чисел можно изобразить в виде луча:

Отношение R в X называется отношением нестро-гого (частичного)порядка , если оно транзитивно и антисимметрично. Всякое отношение нестрогого порядка рефлексивно.

Эпитет "частичный" выражает тот факт, что, возможно, не все элементы множества сравнимы в данном отношении.

Типичными примерами отношения частичного порядка являются отношения "не больше", "не меньше", "не старше". Частица "не" в названиях отношений служит для выражения их рефлексивности. Отношение "не больше" совпада-ет с отношением "меньше либо равно", а отношение "не меньше" то же са-мое, что и "больше либо равно". В связи с этим частичный порядок еще на-зывают нестрогим порядком. Часто отношение частичного (нестрогого) порядка обозначают символом "".

Отношение включения Í между подмножествами некоторого множества также является частичным порядком. Очевидно, что не любые два подмно-жества сравнимы по этому отношению. Ниже на рисунке показан частичный по-рядок по включению на множестве всех подмножеств множества {1,2,3}. Стрелки на графе, которые должны быть направлены вверх, не показаны.

Множества, на которых задан частичный порядок, называют частично упо-рядоченными, или просто упорядоченными множествами.

Элементы х и у частично упорядоченного множества называются сравни-мыми, если х у или у х. В противном случае они не сравнимы.

Упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным , а порядок - линейным порядком. Линейный порядок еще называют совершенным порядком.

Например, множество всех действительных чисел с естественным порядком , а также все его подмножества, линейно упорядочены.

Объекты самой различной природы могут быть упорядочены иерархически. Вот несколько примеров.

Пример 1. Части книги упорядочены так, что книга содержит главы, главы содержат разделы, а разделы состоят из подразделов.

Пример 2.Папки в файловой системе компьютера вложены друг в друга, образуя ветвящуюся структуру.

Пример 3.Отношение родители - дети может быть изображено в виде так называе-мого генеалогического древа, которое показывает, кто чьим предком (или отпрыском) является.

Пусть на множестве А задан частичный порядок . Элемент х называется максимальным (минимальным) элементом множества А, если из того, что х у (у х), следует равенство х = у. Иначе говоря, элемент х является максимальным (минимальным), если для любого элемента у или неверно, что х у (у х ), или выполняется х = у. Таким образом, максимальный (минимальный) элемент больше (меньше) всех отличных от него элементов, с которыми он находится в отношении .

Элемент х называется наибольшим (наименьшим), если для любого у Î А выполняется у < х (х< у).

В частично упорядоченном множестве может быть несколько минимальных и/или максимальных элементов , но наименьших и наибольших элементов не может быть больше одного. Наименьший (наибольший) элемент является одновременно и минимальным (максимальным), но обратное утверждение неверно. На рисунке слева показан частичный порядок с двумя минималь-ными и двумя максимальными элементами, а справа - частичный порядок с наименьшим и наибольшим элементами:

В конечном частично упорядоченном множестве всегда суще-ствуют минимальный и максимальный элементы.

Упорядоченное множество, у которого есть наибольший и наименьший эле-менты, называется ограниченным . На рисунке показан пример бесконечного ограниченного множества. Разумеется, изобразить бесконечное множество на конечной странице нельзя, но можно показать принцип его построения. Здесь петли около вершин не показаны для упрощения рисунка. По той же причине не показаны дуги, обеспечивающие отображение свойства транзитивности. Другими словами, на рисунке представлена диаграмма Хассе отношения порядка.

Бесконечные множества могут не иметь максимальных, или минимальных, или тех и других элементов. Например, множество натуральных чисел (1,2, 3, ...) имеет наименьший элемент 1, но не имеет максимальных. Множество всех действительных чисел с естественным порядком не имеет ни наимень-шего, ни наибольшего элемента. Однако его подмножество, состоящее из всех чисел х < 5, имеет наибольший элемент (число 5), но не имеет наи-меньшего.

Множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным . Отношение нестрогого частичного порядка часто обозначают знаком ≼ {\displaystyle \preccurlyeq } .

Варианты

Отношение частичного порядка R {\displaystyle R} называется линейным порядком , если выполнено условие

Множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным , или цепью .

Отношение R {\displaystyle R} , удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется предпорядком , или квазипорядком .

Строгий порядок

Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:

то получим определение строгого , или антирефлексивного частичного порядка (обозначается обычно символом ≺ {\displaystyle \prec } ).

Замечание. Одновременная антирефлексивность и транзитивность отношения влечёт антисимметричность. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

В общем случае, если R {\displaystyle R} - транзитивное, антисимметричное отношение, то

Примеры

• На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» - нестрогого.
• Отношение делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.

Размерность Душника - Миллера

История

Знаки < {\displaystyle <} и > {\displaystyle >} изобретены